\documentclass[t,12pt,aspectratio=169]{beamer} % 16:9 宽屏比例，适合现代投影
\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{graphicx, url}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.17}

\usetikzlibrary{3d, calc, intersections}
\usepackage{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{float}
\usepackage{caption}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 每页增加与上面标题行的距离
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace*{0.7em}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\scriptspace}{2pt}  % 增加上标/下标周围的水平空白
\newcommand{\pow}[1]{^{\,#1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usetheme{Madrid} % 主题设置（推荐简洁风格）
\usecolortheme{default} % 可选：seahorse, beaver, dolphin 等

\title{复变函数中的球极投影}
\author{五六七}
%\date{2025年9月6日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
\begin{frame}{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{INTRO.}
\begin{frame}[allowframebreaks]{引言 }
  
\vspace{-0.5cm}

本文介绍复变函数中球极投影的基本理论及其在复分析中的若干重要应用。

球极投影将扩充复平面 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 与单位球面（黎曼球面）建立一一对应，为研究无穷远点、莫比乌斯变换、复动力系统等提供了几何直观与分析工具。

我们将系统介绍其定义、几何性质、度量结构以及在函数分析与变换群中的应用。

\newpage 

在复变函数理论中，我们经常需要处理“无穷远点”这一概念，例如函数的极点趋于无穷，或考虑整个复平面的全局结构。

为了使复平面紧致化并赋予其良好的几何结构，引入了\textbf{球极投影}（Stereographic Projection），将复平面 $\mathbb{C}$ 与三维空间中的单位球面 $S\pow{2}$ 建立共形对应。

这一构造自然地引出了\textbf{黎曼球面}（Riemann Sphere），记为 $\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$。

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{球极投影的定义}
\begin{frame}[allowframebreaks]{球极投影的定义}

\vspace{-0.5cm}

在数学分析中，无穷大$\infty$通常被认为是一个变化过程。

而在复分析中，我们把无穷大$\infty$看成一个点加入到复平面$\mathbb{C}$中，记为$\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$或者$\widehat{\mathbb{C}}$, 称为{\color{red}扩充的复平面}。

首先我们建立从 $\overline{\mathbb{C}}$ 到三维空间的单位球面的一个一一对应。

记 $\mathbb{R}^3 = \{(x_1, x_2, x_3) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 为三维欧氏空间，其中的单位球面 $S\pow{2}$ 可以表示为方程 $x_1\pow{2} + x_2\pow{2} + x_3\pow{2} = 1$. 

当 $(x_1, x_2, x_3) \neq (0, 0, 1)$ 时，定义
\[
z = p(x_1, x_2, x_3) = \frac{x_1 + \mathrm{i} x_2}{1 - x_3}.
\]

由上式和球面方程，得到
\[
|z|\pow{2} = \frac{x_1\pow{2} + x_2\pow{2}}{(1 - x_3)\pow{2}} = \frac{1 + x_3}{1 - x_3}.
\]

记 $z = x + \mathrm{i} y$，得到
\begin{equation}
x_3 = \frac{|z|\pow{2} - 1}{|z|\pow{2} + 1}, \quad x_1 = \frac{2x}{|z|\pow{2} + 1}, \quad x_2 = \frac{2y}{|z|\pow{2} + 1}.
\label{tag-1-6}
\end{equation}

记 $N = (0, 0, 1)$ 为北极点，补充定义 $p(N) = \infty$，则 $p: S\pow{2} \to \overline{\mathbb{C}}$ 为一一对应。

上述对应有明显的几何意义。由 (\ref{tag-1-6}) 得到
\[
x : y : (-1) = x_1 : x_2 : (x_3 - 1).
\]

这说明点 $(x, y, 0)$ 是过球面上的点 $(x_1, x_2, x_3)$ 和 $N$ 的直线与平面 $\mathbb{C} = \mathbb{R}\pow{2}$ 的唯一交点。%（图 1.3）。

因此映射 $p$ 是以 $N$ 为中心的中心投影，称为{\color{red}球极投影}。

为此 $\overline{\mathbb{C}}$ 也称为 {\color{red}Riemann（黎曼）球面}。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{球极投影}
%     \label{fig:stereographic_projection}
% \end{figure}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{球极投影的几何性质}
\begin{frame}[allowframebreaks]{球极投影的几何性质}

\vspace{-0.5cm}

\textbf{定理：} 球极投影将球面上的任意一个圆周映为平面上的一个圆周或者一条直线。反之亦然。

证明 设球面上的圆周所在的平面方程为 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = a_0$，其中 $a_1\pow{2} + a_2\pow{2} + a_3\pow{2} = 1, a_0 \geq 0$。

当 $(x_1, x_2, x_3)$ 在圆周上时，
\[
a_0 = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 \leq \frac{1}{2}[(a_1\pow{2} + x_1\pow{2}) + (a_2\pow{2} + x_2\pow{2}) + (a_3\pow{2} + x_3\pow{2})] = 1.
\]

不等式中的等号成立当且仅当 $(x_1, x_2, x_3) = (a_1, a_2, a_3)$。

这说明平面与单位球面只有一个交点，这是不可能的，因此 $a_0 < 1$。

将公式 (\ref{tag-1-6}) 代入平面方程得到
\[
2a_1 x + 2a_2 y + a_3(|z|\pow{2} - 1) = a_0(|z|\pow{2} + 1),
\]

展开得到
\[
(a_0 - a_3)(x\pow{2} + y\pow{2}) - 2a_1 x - 2a_2 y + a_0 + a_3 = 0.
\]

当 $a_0 = a_3$ 时，$a_1, a_2$ 不全为零。上述方程化为
\[
a_1 x + a_2 y = a_3,
\]

它表示平面上的一条直线。

反过来，平面上的任意一条直线都可以表示为这个方程。

当 $a_0 \neq a_3$ 时，方程可以化为
\begin{equation}
\left(x - \frac{a_1}{a_0 - a_3}\right)\pow{2} + \left(y - \frac{a_2}{a_0 - a_3}\right)\pow{2} = \frac{1 - a_0\pow{2}}{(a_0 - a_3)\pow{2}}.
\label{tag-1-7}
\end{equation}

由于 $a_0 < 1$，上述方程表示以 $z_0$ 为圆心，半径为 $r$ 的圆周，其中
\[
z_0 = \frac{a_1 + \mathrm{i} a_2}{a_0 - a_3}, \quad r = \frac{\sqrt{1 - a_0\pow{2}}}{|a_0 - a_3|}.
\]

由上述等式以及关系式 $a_1\pow{2} + a_2\pow{2} + a_3\pow{2} = 1$，$a_0 \geq 0$，可以反解出：当 $s = |z_0|\pow{2} - r\pow{2} + 1 \geq 0$ 时，
\[
a_0 = \frac{s}{\sqrt{4r\pow{2} + s\pow{2}}}, \quad a_1 = \frac{2 \operatorname{Re} z_0}{\sqrt{4r\pow{2} + s\pow{2}}},
\]
\[
a_2 = \frac{2 \operatorname{Im} z_0}{\sqrt{4r\pow{2} + s\pow{2}}}, \quad a_3 = \frac{s - 2}{\sqrt{4r\pow{2} + s\pow{2}}}.
\]

当 $s = |z_0|\pow{2} - r\pow{2} + 1 < 0$ 时，每个等式的右边乘 $-1$.

这说明任一圆周都可以表示为方程 (\ref{tag-1-7})。因此对应是一一的。


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{复数之间的球面度量}
\begin{frame}[allowframebreaks]{复数之间的球面度量}

\vspace{-0.5cm}

给定两个点 $z, z' \in \overline{\mathbb{C}}$. 

记 $d(z, z')$ 为这两个点在球极投影下的原像 $(x_1, x_2, x_3), (x_1', x_2', x_3')$ 在三维欧氏空间中的距离。即
\[
\begin{aligned}
d(z, z')\pow{2} &= (x_1 - x_1')\pow{2} + (x_2 - x_2')\pow{2} + (x_3 - x_3')\pow{2} \\
&= 2 - 2(x_1 x_1' + x_2 x_2' + x_3 x_3').
\end{aligned}
\]

当 $z, z' \in \mathbb{C}$ 时，由 (1.6) 经过计算得到
\[
x_1 x_1' + x_2 x_2' + x_3 x_3' = \frac{(1 + |z|\pow{2})(1 + |z'|\pow{2}) - 2|z - z'|\pow{2}}{(1 + |z|\pow{2})(1 + |z'|\pow{2})}.
\]

最后得到
\[
d(z, z') = \frac{2|z - z'|}{\sqrt{(1 + |z|\pow{2})(1 + |z'|\pow{2})}}.
\]

当 $z' = \infty$ 时，上式变为
\[
d(z, \infty) = \frac{2}{\sqrt{1 + |z|\pow{2}}}.
\]

我们称 $d(z, z')$ 为这两个点的{\color{red}球面度量}。

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{球极投影的图示}
\begin{frame}[allowframebreaks]{球极投影的图示}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \tdplotsetmaincoords{70}{120} 
    \begin{tikzpicture}[scale=1.4, tdplot_main_coords]
        
    \begin{axis}[
        axis lines=center,
        axis equal,
        view={110}{20}, % 调整视角
        xlabel=$x$, ylabel=$y$, zlabel=$z$,
        ticks=none, % 如果不需要坐标轴刻度可以这样设置
        %title={Sphere $x^2+y^2+z^2=1$}
    ]
    % 绘制球体
    \addplot3[
        surf,
        colormap/cool,
        samples=40,
        domain=0:360,y domain=0:180,
        z buffer=sort,
        opacity=0.2
    ]
    ({cos(x)*sin(y)}, {sin(x)*sin(y)}, {cos(y)});
    
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\caption{单位球面示意图}
\end{figure}


\newpage

\begin{figure}[h]
    \centering
    \tdplotsetmaincoords{70}{120} 
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, tdplot_main_coords]
        
        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (N) at (0,0,1);
        \coordinate (X1) at (0,-0.9,0.436); %(x,y,z)
        \coordinate (z1) at (0,-1.6,0); % (x/(1-z),y/(1-z),0)

        % xy平面
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (2,-2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (-2,2,0);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.3] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 坐标轴
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (2,0,0) node[left] {$x$};
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (0,2,0) node[right] {$y$};
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (0,0,1.5) node[above] {$z$};

        % 标记点
        \fill[purple] (O) circle (1.0pt) node[below right] {$O$};
        \fill[purple] (N) circle (1.0pt) node[right] {$N$};
        \fill[purple] (X1) circle (1.0pt) node[below right] {$X$};
        \fill[purple] (z1) circle (1.0pt) node[below right] {$z$};

        % 投影直线
        \draw[dashed] (N) -- (X1);
        \draw[thick] (X1) -- (z1);

    \end{tikzpicture}
    \caption{球极投影：单位球面上的点$X$，投影到复平面上的点$z$}
    %\label{fig:}
\end{figure}


\newpage


\begin{figure}[h]
    \centering
    \tdplotsetmaincoords{70}{120} 
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, tdplot_main_coords]
        
        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (N) at (0,0,1);
        \coordinate (X1) at (0,-0.9,0.436); %(x,y,z)
        \coordinate (z1) at (0,-1.6,0); % (x/(1-z),y/(1-z),0)

        % xy平面
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (2,-2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (-2,2,0);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.3] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 坐标轴
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (2,0,0) node[left] {$x$};
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (0,2,0) node[right] {$y$};
        \draw[->, thick, purple] (O) -- (0,0,1.5) node[above] {$z$};

        % ========== 添加：单位球面 ==========
        % 半透明红色球面（半径1，中心在原点）
        \shade[ball color=red!20, opacity=0.4] (0,0,0) circle (1);

        % 可选：绘制赤道（xy平面上的单位圆）
        %\draw[red!50, dashed, opacity=0.6] (1,0,0) arc (0:360:1 and 1);

        % ========== xy 平面上的单位圆（z=0）==========
        \draw[blue!70!black, thick, dashed, canvas is xy plane at z=0] (0,0) circle (1);

        % ========== yz 平面上的单位圆（x=0）==========
        \draw[green!70!black, thick, dashed, canvas is yz plane at x=0] (0,0) circle (1);


        % 标记点
        \fill[purple] (O) circle (1.0pt) node[below right] {$O$};
        \fill[purple] (N) circle (1.0pt) node[right] {$N$};
        \fill[purple] (X1) circle (1.0pt) node[below right] {$X$};
        \fill[purple] (z1) circle (1.0pt) node[below right] {$z$};
        \fill[purple] (0,1,0) circle (1.0pt);
        \fill[purple] (0,-1,0) circle (1.0pt);

        % 投影直线
        \draw[dashed] (N) -- (X1);
        \draw[thick] (X1) -- (z1);

    \end{tikzpicture}
    \caption{球极投影：单位球面上的点$X$，投影到复平面上的点$z$}
\end{figure}



\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section{球极投影的定义}
% \begin{frame}[allowframebreaks]{球极投影的定义}

% \textbf{定义(球极投影)： }
% 设 $S\pow{2} = \{(X,Y,Z) \in \mathbb{R}^3 \mid X\pow{2} + Y\pow{2} + Z\pow{2} = 1\}$ 为单位球面，$N = (0,0,1)$ 为其北极点。

% 复平面 $\mathbb{C}$ 被视为 $XY$-平面（即 $Z=0$）。

% 球极投影是从 $S\pow{2} \setminus \{N\}$ 到 $\mathbb{C}$ 的映射 $\pi: S\pow{2} \setminus \{N\} \to \mathbb{C}$，定义如下：

% 对于球面上一点 $P = (X,Y,Z) \neq N$，连接 $N$ 与 $P$ 的直线与复平面交于一点 $z = x + iy$, 则 $\pi(P) = z$.

% 其逆映射 $\pi^{-1}: \mathbb{C} \to S\pow{2} \setminus \{N\}$ 给出为：
% \[
% \pi^{-1}(z) = \left( \frac{2\operatorname{Re}(z)}{|z|\pow{2} + 1},\ \frac{2\operatorname{Im}(z)}{|z|\pow{2} + 1},\ \frac{|z|\pow{2} - 1}{|z|\pow{2} + 1} \right), \quad z \in \mathbb{C}.
% \]

% 此外，定义 $\pi(N) = \infty$，从而 $\pi: S\pow{2} \to \widehat{\mathbb{C}}$ 是双射。


% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section{球面度量（球面距离）}
% \begin{frame}[allowframebreaks]{球面度量（球面距离）}

% \vspace{-0.3cm}

% 球极投影诱导了扩充复平面上的一个自然度量——\textbf{球面度量}（或称弦度量），它衡量两点在球面上的欧氏距离。

% \textbf{定义(球面度量)： }
% 对于 $z_1, z_2 \in \widehat{\mathbb{C}}$，定义其球面距离为：
% \[
% d_s(z_1, z_2) = \|\pi^{-1}(z_1) - \pi^{-1}(z_2)\|_{\mathbb{R}^3}.
% \]

% \textbf{注： }
% 球面度量使 $\widehat{\mathbb{C}}$ 成为一个紧致度量空间，且球极投影是共形映射（保角但不保距）。


% \newpage

% 特别地，若 $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$，则：
% \[
% d_s(z_1, z_2) = \frac{2|z_1 - z_2|}{\sqrt{1 + |z_1|\pow{2}} \sqrt{1 + |z_2|\pow{2}}}.
% \]
% 若 $z_1 \in \mathbb{C}$，则：
% \[
% d_s(z, \infty) = \frac{2}{\sqrt{1 + |z|\pow{2}}}.
% \]


% \end{frame}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section{圆周与直线的映射性质}
% \begin{frame}[allowframebreaks]{圆周与直线的映射性质}

% \vspace{-0.5cm}

% 球极投影的一个关键性质是它将复平面上的圆与直线映为球面上的圆。

% \textbf{定理： }
% 球极投影将复平面上的任意圆或直线映为球面上的一个圆（即球面与平面的交线）。


% \textbf{证明： }[简要说明]
% (1) 复平面上的圆：$|z - a| = r$，投影后为球面与某个平面的交线（圆）。
% (2) 复平面上的直线：可视为过无穷远点的“圆”。投影后对应球面过北极 $N$ 的圆。
% (3) 反之，球面上任一圆（非退化）在投影下对应复平面上一个圆或直线。


% \textbf{例： }
% 直线 $\operatorname{Re}(z) = 0$（虚轴）在球极投影下对应球面与平面 $X=0$ 的交线，即一个过北极的大圆。


% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{在莫比乌斯变换中的应用}
\begin{frame}[allowframebreaks]{在莫比乌斯变换中的应用}

\vspace{-0.5cm}

莫比乌斯变换（Möbius Transformations）是扩充复平面到自身的共形自同构：
\[
f(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad a,b,c,d \in \mathbb{C},\ ad - bc \neq 0.
\]

\textbf{定理： }
每个莫比乌斯变换在球极投影下诱导黎曼球面上的一个旋转（或更一般地，保向等距变换）。


\textbf{注. }
这表明莫比乌斯群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 同构于球面的保向共形自同构群。特别地，变换 $f(z) = 1/z$ 对应于球面关于 $Z$-轴的反射或旋转。


\textbf{例： }
考虑 $f(z) = 1/z$. 设 $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$，则：
\[
\pi^{-1}(1/z) = \left( \frac{2\operatorname{Re}(1/z)}{|1/z|\pow{2} + 1},\ \frac{2\operatorname{Im}(1/z)}{|1/z|\pow{2} + 1},\ \frac{|1/z|\pow{2} - 1}{|1/z|\pow{2} + 1} \right).
\]
通过代数可验证，这相当于 $\pi^{-1}(z)$ 关于原点的某种对称操作，体现为球面的旋转。


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{在研究函数于无穷远点行为的应用}
\begin{frame}[allowframebreaks]{在研究函数于无穷远点行为的应用}

\vspace{-0.5cm}

球极投影为研究函数在 $z \to \infty$ 时的行为提供了自然框架。

\textbf{命题： }
设 $f: \mathbb{C} \to \widehat{\mathbb{C}}$ 为亚纯函数。定义 $g(w) = f(1/w)$，则 $f$ 在 $\infty$ 处的性质由 $g$ 在 $w=0$ 处的性质决定。

\textbf{例： }
设 $f(z) = z\pow{2}$。令 $w = 1/z$，则 $g(w) = f(1/w) = 1/w\pow{2}$。因此 $f$ 在 $\infty$ 处有一个二阶极点。


\textbf{注： }
在球极投影下，$z \to \infty$ 对应于点趋近北极 $N$。因此，函数在无穷远点的奇点分类（可去、极点、本性）可通过球面邻域内的行为来理解。


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{在复动力系统中的应用}
\begin{frame}[allowframebreaks]{在复动力系统中的应用}

\vspace{-0.5cm}

复动力系统研究迭代函数 $f{\,}^n(z) = f(f(\cdots f(z)\cdots))$ 的长期行为，如 Julia 集。

\textbf{例(Julia 集)：}
考虑二次多项式 $f(z) = z\pow{2} + c$。其 Julia 集 $J(f)$ 是复平面上迭代不稳定的点集。固定参数 $c$，让初值 $z_0$ 变化。Julia 集是使得迭代序列 $\{z_n\}$ 不趋于无穷的初值 $z_0$ 的边界集合，记为 $J_c$。即：
    \[
    J_c = \partial \left\{ z_0 \in \mathbb{C} \mid z_{n+1} = z_n\pow{2} + c,\ \sup_n |z_n| < \infty \right\}.
    \]

  
使用球极投影，可将整个动力系统“投影”到球面上，使得：
(1) 逃逸到 $\infty$ 的轨道在球面上趋于北极 $N$；
(2) Julia 集在球面上表现为一个紧致不变集；
(3) 避免了复平面中“无穷远”的数值不稳定性。

这在计算机可视化中非常有用，尤其当轨道远离原点时。


\textbf{注： }
球极投影保持共形性，因此动力系统的局部几何结构（如角度、分形结构）在投影后得以保留。

\newpage

\textbf{例(Mandelbrot集)：}
Mandelbrot集是由所有满足以下条件的复数 $c$ 组成的集合：
\[ z_{n+1} = z_n\pow{2} + c \]
其中，$z_0 = 0$，且序列 $\{z_n\}$ 对于所有 $n$ 都保持有界。换句话说，如果存在某个 $n$ 使得 $|z_n| > 2$，则认为$c$不属于Mandelbrot集。

Mandelbrot集是一个在复平面上定义的集合，它以其复杂的边界和无限细节而闻名。

\newpage

Mandelbrot集的计算方法：
对于每个复数 $c$，从 $z_0 = 0$ 开始迭代上述公式。如果迭代过程中模（即绝对值）超过2，则认为$c$不在Mandelbrot集中；否则认为$c$属于Mandelbrot集。通常情况下，我们会设置一个最大迭代次数来决定是否停止计算。

\textbf{特性：}
(1) Mandelbrot集是连通的。
(2) 它具有自相似性，这意味着无论你放大图像的哪个部分，都会发现与原始图形类似的结构。
(3) 尽管定义简单，但Mandelbrot集展现了极其复杂的边界行为，这使其成为分形几何学的经典例子。

% 下面的命令用于插入Mandelbrot集的示意图，实际使用时请替换为真实的文件路径或直接生成图片的方式
%\begin{figure}[h]
%    \centering
%    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{path/to/mandelbrot_set.png}
%    \caption{Mandelbrot Set 示例图}
%\end{figure}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{总结}
\begin{frame}[allowframebreaks]{总结}

\vspace{-0.5cm}

球极投影是复分析中连接代数、几何与拓扑的桥梁。其主要贡献包括：
\begin{itemize}
    \item 将 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 紧致化为黎曼球面；
    \item 提供莫比乌斯变换的几何解释；
    \item 统一处理圆与直线为“广义圆”；
    \item 定义球面度量，使扩充复平面成为紧致空间；
    \item 为研究函数在无穷远点的行为提供工具；
    \item 在复动力系统中实现全局可视化与分析。
\end{itemize}

%球极投影不仅是技术工具，更是一种深刻的几何视角，贯穿于现代复分析、代数几何与动力系统理论之中。

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{参考文献}
\begin{frame}[allowframebreaks]{参考文献}

\begin{enumerate}
    \item L. V. Ahlfors, \emph{Complex Analysis}, McGraw-Hill, 1979.
    \item J. B. Conway, \emph{Functions of One Complex Variable I}, Springer, 1978.
    \item S. Katok, \emph{Fuchsian Groups}, University of Chicago Press, 1992.
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

